Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) là

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và \(R = 5\).

Vì tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x - 4y + c = 0,c \ne  - 35\).

Lại có \(d\left( {I,d} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 + c = 25\\10 + c =  - 25\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c =  - 35\end{array} \right.\).

Vì \(c \ne  - 35\) nên \(c = 15\). Do đó \(d:3x - 4y + 15 = 0\).

Suy ra \(b =  - 4;c = 15\). Vậy \(b + c = 11\).

Theo đề ta có phương trình đường chuẩn \(d\) là \(x = - 1 \Rightarrow p = 2\).

Do đó \(\left( P \right):{y^2} = 4x\).

Vì \(M \in \left( P \right) \Rightarrow MF = d\left( {M,d} \right) = MH\).

Do đó \(2M{H^2} + 3MF = 44\)\[ \Leftrightarrow 2M{H^2} + 3MH = 44\]\[ \Leftrightarrow MH = 4\] vì \(MH > 0\).

Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nên \(MH = d\left( {M,d} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right| = {x_0} + 1\) (vì \({x_0} > 0\)).

Do đó \({x_0} + 1 = 4 \Rightarrow {x_0} = 3\).

Vậy hoành độ của điểm \(M\) là 3.