Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\). Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Khi đó \({S_{\Delta OAB}}\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Dựa vào hình vẽ ta thấy elip đi qua 2 điểm \(\left( {5;0} \right);\left( {0;3} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\\frac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2 có phương trình là \(y = 2\) hoặc \(y = - 2\).

Xét trường hợp \(y = 2\) (tương tự \(y = - 2\)).

Tọa độ giao điểm của elip với đường thẳng \(y = 2\)là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{5\sqrt 5 }}{3}\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right);{M_2}\left( { - \frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right)\).

Ta có \(OM_2^2 = {\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} + {2^2}\).

Ta có \({M_1}{M_2} = 2I{M_2} = 2\sqrt {OM_2^2 - I{O^2}} = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} + {2^2} - {2^2}} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3} \approx 7,45\).