Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\). Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) là:
A. \(a\sqrt {\frac{{15}}{{62}}} \).
B. \(a\sqrt {\frac{{30}}{{31}}} \).
C. \(a\sqrt {\frac{{15}}{{68}}} \).
D. \(a\sqrt {\frac{{15}}{{17}}} \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(O\) là tâm của đáy \[ABCD\]. Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
Gọi \(I\) là trung điểm \(OA\).
Vì \(IM\,{\rm{//}}\,SO \Rightarrow IM \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của \(MN\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)là \(IN\). Suy ra \(\widehat {MNI} = 60^\circ \).
Áp dụng định lí côsin trong \(\Delta CIN\), ta có:
\(IN = \sqrt {C{I^2} + C{N^2} - 2CI \cdot CN \cdot {\rm{cos}}45^\circ } = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{{3a\sqrt 2 }}{4} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}\).
Trong tam giác vuông \(MIN\) ta có:
\(\tan 60^\circ = \frac{{MI}}{{IN}} \Rightarrow MI = IN \cdot \sqrt 3 = \frac{{a\sqrt {15} }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{4} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}\).
Ta có \(d\left( {BC,DM} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Kẻ \(OE \bot SN \Rightarrow OE \bot \left( {SBC} \right)\).
Ta có \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OE\) mà \(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{4}{{30{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{62}}{{15{a^2}}} \Rightarrow OE = \frac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {62} }}\).
Vậy \(d\left( {BC,DM} \right) = 2OE = \frac{{2a\sqrt {15} }}{{\sqrt {62} }} = a\sqrt {\frac{{30}}{{31}}} \). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\frac{1}{5}\].
B. \[\frac{{11}}{{23}}\].
C. \[\frac{{12}}{{23}}\].
D. \[\frac{{11}}{{19}}\].
Lời giải
Gọi A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”.
Gọi B là biến cố “gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn xác suất thống kê”.
Ta đi tính \[P\left( {B|A} \right)\]. Ta có: \[P\left( A \right) = \frac{{55}}{{95}}\]; \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{11}}{{95}}\].
Do đó: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{11}}{{95}}:\frac{{55}}{{95}} = \frac{{11}}{{55}} = \frac{1}{5}\]. Chọn A.
Lời giải
Thay \(t = 2\) phút \( = \frac{1}{{30}}\) giờ, \({T_0} = 96\,,\,T = 90\,,\,S = 24\) ta có \(\frac{1}{{30}}k = \ln \frac{{90 - 24}}{{96 - 24}}\).
Do đó \(k = 30\ln \frac{{11}}{{12}}\).
Sau 10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ, ta có \(\frac{1}{6}k = \ln \frac{{T - 24}}{{96 - 24}}\) hay \(5\ln \frac{{11}}{{12}} = \ln \frac{{T - 24}}{{72}}\). Do đó \(\frac{{T - 24}}{{72}} = {\left( {\frac{{11}}{{12}}} \right)^5}\).
Suy ra \(T = 72 \cdot {\left( {\frac{{11}}{{12}}} \right)^5} + 24 \approx 70,6^\circ {\rm{C}}\). Vậy nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút khoảng \(70,6^\circ {\rm{C}}\).
Đáp án cần nhập là: \(70,6\).
Câu 3
A. \(2\).
B. \(3\).
C. \(1\).
D. \(4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. The difficulties and challenges of repairing damaged historical sites and artifacts.
B. The benefits of using high-tech computers in the restoration process.
C. The role of artificial intelligence in predicting original architectures.
D. The process of scanning and connecting artifact pieces.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{{395}}{{24}}\,c{m^3}\).
B. \(\frac{{50}}{3}\,\,c{m^3}\).
C. \(\frac{{125}}{8}\,c{m^3}\).
D. \(\frac{{425}}{{24}}\,c{m^3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập