Tâm của đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {2;1} \right),\,B\left( {2;5} \right),\,C\left( { - 2;1} \right)\) thuộc đường thẳng có phương trình:

Gọi tâm của đường tròn đã cho là \(I\left( {a;b} \right)\).

Vì đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {2;1} \right),\,B\left( {2;5} \right),\,C\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có IA = IB = IC

⇔ IA² = IB² = IC² \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {5 - b} \right)^2}\\{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8b = 24\\ - 8a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(I\left( {0;3} \right)\).

Thế tọa độ \(I\left( {0;3} \right)\) vào phương trình ở phương án A, ta được: 0 – 3 + 3 = 0 (đúng).

Thế tọa độ \(I\left( {0;3} \right)\) vào phương trình ở phương án B, ta được: 0 – 3 – 3 = –6 ≠ 0.

Thế tọa độ \(I\left( {0;3} \right)\) vào phương trình ở phương án C, ta được: 0 + 2 ∙ 3 – 3 = 3 ≠ 0.

Thế tọa độ \(I\left( {0;3} \right)\) vào phương trình ở phương án D, ta được: 0 + 3 + 3 = 6 ≠ 0.

Vậy tâm \(I\left( {0;3} \right)\) thuộc đường thẳng có phương trình x – y + 3 = 0. Chọn A.