Một nhóm bạn đi Picnic muốn cắm trại qua đêm. Biết trại cắm là một hình chóp tam giác đỉnh cách đều các chân trại một đoạn bằng 3m. Biết đáy trại là một tam giác vuông tại A và . Nhóm muốn cắm trại sao cho thể tích của trại là lớn nhất cho không gian thoải mái. Khi đó độ dài  bằng bao nhiêu mét (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án  __

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(H\) là tâm ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Do \(SA = SB = SC\) nên ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Đặt \(AC = x\). Ta có \(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{x^2} + 4} \).

Trong tam giác \(SBH\) ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \frac{{\sqrt {32 - {x^2}} }}{2}\), với điều kiện \(0 < x < 4\sqrt 2 \).

Thể tích của lều \(V = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {32 - {x^2}} }}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x = \frac{1}{6}x \cdot \sqrt {32 - {x^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x \cdot \sqrt {32 - {x^2}} \), ta có \(f'\left( x \right) = \sqrt {32 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {32 - {x^2}} }}\).

Có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 32 - {x^2} = {x^2} \Rightarrow x = 4\). Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;4\sqrt 2 } \right)\):

Từ bảng biến thiên suy ra độ dài cạnh \(AC\) là \(4\,m\).

Đáp án cần nhập là: 4.