Biết  $= \frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{a}} +\mathrm{b}\sqrt{3}+\mathrm{c}$ . Tính giá trị của  (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án  __

Ta có: \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right) + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 + \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {3x - 2\cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + 2\sqrt 3 - 2\). Suy ra \(a = 4,b = 2,c = - 2\). Vậy \(P = 4\).

Đáp án cần nhập là: 4.