Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),\,\,B\left( {3;1} \right)\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(d:2x - y + 7 = 0\) có phương trình là:

Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).

Ta có IA² = IB² = R²\( \Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4a = 4b \Leftrightarrow a = b\).

Khi đó tọa độ \(I\left( {a;a} \right)\). Vì \(I\left( {a;a} \right) \in d\) nên 2a – a + 7 = 0 \( \Leftrightarrow a = - 7\). Suy ra \(I\left( { - 7; - 7} \right)\).

Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 7} \right)}^2} + {{\left( {3 + 7} \right)}^2}} = 2\sqrt {41} \).

Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\): \({\left( {x + 7} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 164\). Chọn B.