Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\] và đường thẳng\(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(A\) và đường thẳng \(d\).

 

VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;1} \right) \in d\). Khi đó: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;1} \right)\].

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {5; - 2; - 4} \right)\).

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là \(5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\]. Chọn C.