Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;2;1} \right){\rm{, }}B\left( {2; - 1;3} \right)\]. Điểm M trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho \[M{A^2} - 2M{B^2}\] lớn nhất. Khi đó \[T = {x_M} + {y_M}\] có giá trị là:

Gọi I là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow I\left( {3; - 4;5} \right)\].

Khi đó \[M{A^2} - 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} - 2I{B^2}\]

\[ = - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\] lớn nhất \[ \Leftrightarrow MI\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \]M là hình chiếu của I trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\].

Suy ra \[M\left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow T = - 1\] . Chọn C.