Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[AB = 13{\rm{\;cm}},\] \[AC = 15{\rm{\;cm}}.\] Kẻ \(AD \bot BC\,\,\left( {D \in BC} \right).\) Biết \[BD = 5{\rm{\;cm}},\] độ dài đoạn thẳng \(CD\) bằng

Hướng dẫn giải

 Với \(a \ne b \ne c \ne 0,\) từ \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0,\) suy ra:

\(\frac{a}{{b - c}} = \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{b - a}} = \frac{{b\left( {b - a} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{c\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}}.\)

Nhân hai vế với \(\frac{1}{{b - c}}\) ta được:

\(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.\)

Tương tư, ta có: \(\frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}};\,\,\frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.\)

Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên ta được:

\(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \frac{0}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 0.\)

Vậy \(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0.\)