Giải các phương trình sau:

a) \[x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4.\]   b) \[\frac{1}{3}\left( {x - 1} \right) + 4 = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right).\]

Hướng dẫn giải

 Với \(a \ne b \ne c \ne 0,\) từ \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0,\) suy ra:

\(\frac{a}{{b - c}} = \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{b - a}} = \frac{{b\left( {b - a} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{c\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}}.\)

Nhân hai vế với \(\frac{1}{{b - c}}\) ta được:

\(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.\)

Tương tư, ta có: \(\frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}};\,\,\frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.\)

Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên ta được:

\(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \frac{0}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 0.\)

Vậy \(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0.\)

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(x - 5\) (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút \( = 4,8\) giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: \(4,8x\) (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút \( = 1,8\) giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là \(4,8 - 1,8 = 3\) (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: \(3\left( {x - 5} \right)\) (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

\(4,8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87\)

\(4,8x = 3x - 15 + 87\)

\(4,8x - 3x =  - 15 + 87\)

\(1,8x = 72\)

\(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(40\) km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(40 - 5 = 35\) km/h.