1) Một viên bi lăn từ vị trí \(A\) đến vị trí \(D\) theo đường gấp khúc \(ABCD\) hết 21 giây, biết rằng \(AB = 10{\rm{\;cm}},\) \(BC = 12{\rm{\;cm}},\) \(CD = 6{\rm{\;cm}}\) (hình vẽ bên). Hỏi nếu viên bi đó lăn theo đoạn thẳng \(AD\) thì hết bao nhiêu giây? Giả sử vận tốc của viên bi không thay đổi.

2) Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AC > BD.\) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thẳng \(AB\) và \(AD.\) Vẽ tia \(Dx\) cắt \(AC,\,\,AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(I,\,\,M,\,\,N.\) Gọi \(J\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(I.\) Chứng minh:

a) \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}.\)    b) $\Delta CHK\backsim \Delta BCA.$

c) \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = A{C^2}.\) d) \(IM \cdot IN = I{D^2}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{1}{{a\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{1}{{c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{c\left( {{b^2} - bc - {a^2} + ac} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{c\left[ {\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)} \right] + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {ac + bc - {c^2}} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{abc}}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{{abc}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ \({x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).\)

⦁ \[\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x \ne 0\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 4} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\]

Vì vậy, với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\)

Khi đó \(D > 0\) tức là \(\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,\) do đó \( - 3x + 4 > 0\) vì \(4 > 0.\)

Suy ra \(3x < 4,\) nên \(x < \frac{4}{3}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta được \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0.\)

Vậy với \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\) thì \(D > 0.\)

c) Để \(D\) là số nguyên âm lớn nhất thì \(D =  - 1,\) khi đó:

\(\frac{{ - 3x + 4}}{4} =  - 1\)

\( - 3x + 4 =  - 4\)

\( - 3x =  - 8\)

\(x = \frac{8}{3}\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{8}{3}\) thì \(D\) có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.