Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn:

Một số tự nhiên gồm hai chữ số có tổng của hai chữ số đó bằng 12. Nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì ta được một số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị. Tìm số ban đầu.

a) Vì \(O\) là giao điểm ba đường trung trực nên \(OM \bot AB.\)

Lại có \(AH \bot BC\) \((H\) là trực tâm) nên \(AH\,{\rm{//}}\,OM.\)

Tương tự, \(BH\,{\rm{//}}\,ON.\)

Do đó \(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác \[BAC\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)

Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) \(MN = \frac{1}{2}AB.\)

Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét \(\Delta OMN\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) và \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\)

Do đó $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (g.g).

b) Vì $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (câu a) nên $\frac{OM}{HA}=\frac{NO}{HB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left(1\right)$

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\) \(AM\) là trung tuyến nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) hay \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta GHA\) có:

\(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}\) và \(\widehat {OMG} = \widehat {HAG}\) (so le trong của \(AH\,{\rm{//}}\,OM)\)

Do đó $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (c.g.c).

c) Vì $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (câu b) nên $\widehat{OGM}=\widehat{HGA}$ (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ \) (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]

Do đó 3 điểm \(O;\,\,G;\,\,H\) thẳng hàng.

Mặt khác, $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ nên \(\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(GH = 2GO.\)