Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{x - 1}};\,\,\frac{5}{{x + 1}};\,\,\frac{7}{{{x^2} - 1}}\) là

a) Vì \(O\) là giao điểm ba đường trung trực nên \(OM \bot AB.\)

Lại có \(AH \bot BC\) \((H\) là trực tâm) nên \(AH\,{\rm{//}}\,OM.\)

Tương tự, \(BH\,{\rm{//}}\,ON.\)

Do đó \(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác \[BAC\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)

Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) \(MN = \frac{1}{2}AB.\)

Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét \(\Delta OMN\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) và \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\)

Do đó $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (g.g).

b) Vì $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (câu a) nên $\frac{OM}{HA}=\frac{NO}{HB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left(1\right)$

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\) \(AM\) là trung tuyến nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) hay \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta GHA\) có:

\(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}\) và \(\widehat {OMG} = \widehat {HAG}\) (so le trong của \(AH\,{\rm{//}}\,OM)\)

Do đó $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (c.g.c).

c) Vì $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (câu b) nên $\widehat{OGM}=\widehat{HGA}$ (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ \) (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]

Do đó 3 điểm \(O;\,\,G;\,\,H\) thẳng hàng.

Mặt khác, $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ nên \(\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(GH = 2GO.\)