1) Tìm độ dài \[x\] trong mỗi trường hợp sau:

Hình 1

Hình 2

2) Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) \(E\) là giao điểm của \(MA\) và \(BD,\) \(F\) là giao điểm của \(MB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

b) Đường thẳng \(EF\) cắt \(AD,\,\,BC\) lần lượt tại \(H\) và \(N.\)

i) Chứng minh \(HE = EF = FN.\)

ii) Biết \(AB = 7,5{\rm{\;cm}},\,\,CD = 12{\rm{\;cm}}.\) Tính độ dài \(HN.\)

⦁ Hình 1:

Tam giác \[ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \[x = 7,5\,\,{\rm{cm}}.\]

Hình 1

⦁ Hình 2:

Xét tam giác \[IKJ\] có \[IL\] là phân giác trong góc \[\widehat {KIJ}\] (do \(\widehat {KIL} = \widehat {JIL}),\) nên \(\frac{{IK}}{{IJ}} = \frac{{LK}}{{LJ}}\) hay \[\frac{{LK}}{{IK}} = \frac{{LJ}}{{IJ}}\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{LK}}{{6,2}} = \frac{{LJ}}{{8,7}} = \frac{{LK + LJ}}{{6,2 + 8,7}} = \frac{{KJ}}{{14,9}} = \frac{{12,5}}{{14,9}}.\]

Suy ra \[LJ = \frac{{12,5}}{{14,9}} \cdot 8,7 \approx 7,3.\]

Hình 2

2) a) Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy \(AB\) và \(CD\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,DM\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,MC\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.\) \(\left( 2 \right)\)