Một hộp có 40 quả bóng được đánh số từ 1 đến 40, đồng thời các quả bóng từ 1 đến 15 được sơn màu vàng và các quả bóng còn lại được sơn màu đỏ; các quả bóng có kích cỡ và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) “Quả bóng được lấy ra sơn màu vàng”.

b) “Quả bóng được lấy ra ghi số tròn chục”.

c) “Quả bóng được lấy ra sơn màu đỏ và ghi số chia hết cho 3”.

Hình bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi các số \[1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7;{\rm{ }}8.\] Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần. Xác suất của biến cố: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của 12” là

Cho \(\Delta ABC\) có đường phân giác \(AD.\)

a) Giả sử \(AB = 6\;{\rm{cm}},\) \(BC = 10\;{\rm{cm}},\) \(AC = 9\;{\rm{cm}}.\) Tính độ dài đoạn thẳng \(BD.\)

b) Trên tia đối của các tia \(AB\) và \(AC,\) lần lượt lấy các điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB,\,\,AC = 3AF.\) Chứng minh \(EF\,{\rm{//}}\,BC.\)

c) Qua \(A,\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC.\) Đường thẳng \(d\) cắt \(BF\) và \(CE\) lần lượt tại \(I\) và \(K.\) Chứng minh:

i) \(A\) là trung điểm của \(IK.\)         ii) \(\frac{{FI}}{{FB}} + \frac{{CK}}{{CE}} = 1.\)