Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }},\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,\,\frac{1}{3}} \right)\) và \(f\left( { - 1} \right) = \frac{2}{3}.\) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( { - 1} \right) = 0.\) Tính \(F\left( {\frac{1}{4}} \right).\)

  

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }} \Rightarrow \int {f'\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }}} \;{\rm{d}}x \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3x} + {C_1}.\)

Mà \[f\left( { - 1} \right) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right)} + {C_1} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {C_1} = 2.\] Khi đó \(f\left( x \right) = - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3x} + 2.\)

Lại có \(F\left( x \right) = \int f \left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( { - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3x} + 2} \right)} \,{\rm{d}}x\)

\( = \int {\left[ { - \frac{2}{3}{{\left( {1 - 3x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 2} \right]} \,{\rm{d}}x = \frac{4}{{27}}{\left( {1 - 3x} \right)^{\frac{3}{2}}} + 2x + {C_2}{\rm{.}}\)

Mà \(F\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{{27}}{\left( {1 + 3} \right)^{\frac{3}{2}}} - 2 + {C_2} = 0 \Leftrightarrow {C_2} = \frac{{22}}{{27}}.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \frac{4}{{27}}{\left( {1 - 3x} \right)^{\frac{3}{2}}} + 2x + \frac{{22}}{{27}} \Leftrightarrow F\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{4}{3}.\) Chọn D.