Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho \(A\left( { - 3\,;\,\,1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 11 = 0.\) Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \[A,\,\,B\] và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm C. Biết \(C\) luôn thuộc một đường tròn \[\left( T \right)\] cố định. Bán kính \(r\) của đường tròn \[\left( T \right)\] là (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án  __

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\)

Do đó \(AB \bot \left( P \right)\).

Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm A, B nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 + 1 + 1 + 6a - 2b - 2c + d = 0}\\{1 + 1 + 25 - 2a + 2b - 10c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 2b - 2c + d = - 11}\\{2a - 2b + 10c - d = 27}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(C\) luôn thuộc một đường tròn \(\left( T \right)\) cố định có bán kính \(r = 4.\)

Đáp án cần nhập là: 4.