Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC.\) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\) Trên tia đối của tia \(KA,\) lấy điểm \(H\) sao cho \(KH = KA\).

Khi đó:

Xét \(\Delta MQN\) và \(\Delta PNQ\) có: \(MN = QP\) (gt); \(\widehat {MNQ} = \widehat {NQP}\) (so le trong); \(QN\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta MQN = \Delta PNQ\) (c.g.c)

Do đó, \(MN = QP = 9{\rm{ cm; }}NP = MQ = 7{\rm{ cm}}\).

Chu vi tứ giác \(MNPQ\) là: \(MN + NP + QP + QM = 9 + 9 + 7 + 7 = 32\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Lại có chu vi tứ giác \(MNPQ\) bằng tổng chu vi tam giác \(MQN\) và \(PNQ\).

Do đó, chu vi tam giác \(PNQ\) là: \(32:2 = 16\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Nhận thấy, \(\Delta DEF\) và \(\Delta MNP\) có: \(\widehat E = \widehat N;\,\,DE = NP = 4\,\,{\rm{cm;}}\,\,\widehat D = \widehat P\).

Do đó, \(\Delta DEF = \Delta PNM\) (g.c.g)

Suy ra \(DF = PN;\,\,EF = NM;\,\,DE = NP\) (các cạnh tương ứng)

Mà ta có: \(DF = EF = 2DE\), do đó \(PN = NM = 2NP = 8{\rm{ cm}}\).

Do đó, chu vi tam giác \(\Delta MNP\)là: \(PN + NM + MP = 8 + 8 + 4 = 20\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).