Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A.\] Đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\] cắt \[AC\] tại \[H,\] cắt \[BC\] tại \[D.\] Nối \[A\] và \[D\].

Khi đó:

Ta có tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = 40^\circ \).

Lại có tam giác \(ABD\) có \(BA = BD\) nên \(\Delta ABD\) cân tại \(B\). Do đó, \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).

Theo đề, \(BD = BA,\)\(CE = CA.\) Mà \[AB = AC\](\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) suy ra \(AB = EC\).

Ta có: \(BD = BE + ED\), \(EC = ED + DC\) nên \(BE = DC\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(AB = AC\) (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 40^\circ \)

\(BE = DC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\) (hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAC} = 100^\circ \) nên \(\widehat {DAC} = 100^\circ - \widehat {BAD} = 100^\circ - 70^\circ = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {BAE} = 30^\circ \) do đó, \(\widehat {EAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAE} = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \).

Xét \[\Delta ABC\] có \[CB = AB\] nên \[\Delta ABC\] cân tại \[B\].

Do đó, \[\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - CBA}}{2} = \frac{{180^\circ - 50^\circ }}{2} = 65^\circ \].

Xét \[\Delta CBD\] có \[CD = BD\] nên \[\Delta CBD\] cân tại \[D\].

Suy ra \[\widehat {CBD} = \widehat {BCD} = 65^\circ \].

Do đó, \[\widehat {ABD} = \widehat {BCD} - \widehat {CBA} = 65^\circ - 50^\circ = 15^\circ \].