Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A.\] Trên tia đối của ti \[BC\] lấy điểm \[D\], trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[E\] sao cho \[BD = CE\]. Kẻ \[BH \bot AD\] tại \[H,\] \[CK \bot AE\] tại \[K\]. Gọi \[M\] là giao điểm của \[AI,\,\,\,DE;\] \[I\] là giao của \[BH\] và \[CK\].

Khi đó:

a) Đúng.

Vì đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\] cắt \[AC\] tại \[H,\] cắt \[BC\] tại \[D\] nên ta có \[DC = DA\] (tính chất đường trung trực).

Suy ra \[\Delta ADC\] cân tại \[D\].

b) Sai.

Vì \[\Delta ADC\] cân tại \[D\] nên \[\widehat C = \widehat {{A_1}}\].

Ta có: \[\widehat {ABD} = 90^\circ - \widehat C\] và \[\widehat {{A_2}} = 90^\circ - \widehat {{A_1}}\].

Suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {{A_2}}\].

Vậy \[\Delta ADB\] cân tại \[D\].

c) Đúng.

Vì \[\Delta ADB\] cân tại \[D\]nên \[AD = BD\].

d) Đúng.

Có \[AD = BD\] (cmt) và \[DC = DA\] (\[\Delta ADC\]cân tại \[D\]) nên \[DC = DB\].

Vậy \[D\] là trung điểm của \[BC.\]

Ta có tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = 40^\circ \).

Lại có tam giác \(ABD\) có \(BA = BD\) nên \(\Delta ABD\) cân tại \(B\). Do đó, \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).

Theo đề, \(BD = BA,\)\(CE = CA.\) Mà \[AB = AC\](\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) suy ra \(AB = EC\).

Ta có: \(BD = BE + ED\), \(EC = ED + DC\) nên \(BE = DC\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(AB = AC\) (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 40^\circ \)

\(BE = DC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\) (hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAC} = 100^\circ \) nên \(\widehat {DAC} = 100^\circ - \widehat {BAD} = 100^\circ - 70^\circ = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {BAE} = 30^\circ \) do đó, \(\widehat {EAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAE} = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \).