Giả sử một máy bay thương mại \(M\) đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ \(D\) đến \(E\) có hình chiếu trên mặt đất là đoạn \(CB.\) Tại \(D,\) máy bay bay cách mặt đất là \(9000\)m và tại \(E\) là \(12000\)m. Một ra đa được đặt trên mặt đất tại vị trí \(O\) cách \(C\) là \(20000\)m, cách \(B\) là \(16000\)m và \(\widehat {BOC} = 90^\circ .\) Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị: \(1000\)m) với \(O\) là vị trí đặt ra đa, \(B\) thuộc tia \(Oy,\) \(C\) thuộc tia \(Ox,\) khi đó ta có tọa độ các điểm như hình vẽ sau:

Gọi \({A_k}\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ ở lần thứ \(k\)”; \(k = 1,2,3.\)

Theo đầu bài ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,5\); \(P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{30}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{50}} = \frac{1}{5}.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ”. Khi đó: \(A = {A_1} \cup \overline {{A_1}} {A_2} \cup \overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}.\)

Vì \(3\) biến cố \({A_1}\), \(\overline {{A_1}} {A_2}\), \(\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}\) xung khắc từng đôi nên: \(P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right).\)

Theo công thức nhân xác suất \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)\)\( = \left( {1 - 0,5} \right) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right)\)

\( = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left[ {1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)} \right] \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \left( {1 - 0,5} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{15}}.\)

Do đó: \(P\left( A \right) = 0,5 + \frac{1}{6} + \frac{1}{{15}} = \frac{{11}}{{15}}.\)

Trả lời: \(\frac{{11}}{{15}}\).

Cách 1.

Thể tích khối tứ diện \(A.A\prime BD\) (hoặc \(A\prime .ABD\)) là: \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta A\prime BD}} \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right) = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta ABD}} \cdot d\left( {A\prime ,\left( {ABD} \right)} \right)\).

Ta có \(d\left( {A\prime ,\left( {ABD} \right)} \right) = AA' = 6\) và \({S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\).

Thể tích khối tứ diện \(A.A\prime BD\) (hoặc \(A\prime .ABD\)): \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta ABD}} \cdot AA\prime = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36\).

Tam giác \(A\prime BD\) là tam giác đều cạnh \(6\sqrt 2 \) nên \({S_{\Delta A\prime BD}} = \frac{{{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{36 \cdot 2 \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{72\sqrt 3 }}{4} = 18\sqrt 3 \).

Khi đó, \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{\Delta A\prime BD}} \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow 36 = \frac{1}{3} \cdot \left( {18\sqrt 3 } \right) \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow 36 = 6\sqrt 3 \cdot d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right) = \frac{{36}}{{6\sqrt 3 }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 \).

Cách 2.

Gọi \(O = AC \cap BD\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AA'O} \right) \Rightarrow \left( {AA'O} \right) \bot \left( {A'BD} \right)\) theo giao tuyến \(A'O\).

Dựng \(AH \bot A'O \Rightarrow AH \bot \left( {A'BD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AH\).

\(\Delta A'AO\) vuông tại \(A\) có \(A'A = 6\); \(AO = \frac{{AC}}{2} = 3\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow AH = \frac{{AA' \cdot AO}}{{A'O}} = \frac{{AA' \cdot AO}}{{\sqrt {A'{O^2} + A{O^2}} }} = \frac{{6 \cdot 3\sqrt 2 }}{{\sqrt {36 + 18} }} = 2\sqrt 3 \). Vậy \(d\left( {A,\left( {A\prime BD} \right)} \right) = AH = 2\sqrt 3 \).