(1 điểm). Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm. Phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\] quanh trục hoành.

Thùng rượu vang đó chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu?

a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Đúng. Ta có \(y' = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị.

c) Đúng. Ta có \(y = \frac{{2{x^2} - x + 2}}{{x - 1}} = 2x + 1 + \frac{3}{{x - 1}}\) nên đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x + 1\).

d) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(x = 1\).

Xét điểm \(A\left( {a\,;\,\frac{{2{a^2} - a + 2}}{{a - 1}}} \right)\,\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\).

Tổng khoảng cách từ \(A\) đến hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) là

\(d = \left| {a - 1} \right| + \frac{{\left| {2a - \frac{{2{a^2} - a + 2}}{{a - 1}} + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \left| {a - 1} \right| + \frac{3}{{\sqrt 5 \left| {a - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a - 1} \right|.\frac{3}{{\sqrt 5 \left| {a - 1} \right|}}} = 2\sqrt {\frac{3}{{\sqrt 5 }}} > 2,3\).

Gọi \({A_k}\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ ở lần thứ \(k\)”; \(k = 1,2,3.\)

Theo đầu bài ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,5\); \(P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{30}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{50}} = \frac{1}{5}.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ”. Khi đó: \(A = {A_1} \cup \overline {{A_1}} {A_2} \cup \overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}.\)

Vì \(3\) biến cố \({A_1}\), \(\overline {{A_1}} {A_2}\), \(\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}\) xung khắc từng đôi nên: \(P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right).\)

Theo công thức nhân xác suất \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)\)\( = \left( {1 - 0,5} \right) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right)\)

\( = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left[ {1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)} \right] \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \left( {1 - 0,5} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{15}}.\)

Do đó: \(P\left( A \right) = 0,5 + \frac{1}{6} + \frac{1}{{15}} = \frac{{11}}{{15}}.\)

Trả lời: \(\frac{{11}}{{15}}\).