Có ba chiếc hộp: hộp I có 5 bi đỏ và 6 bi vàng; hộp II có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, hộp III có 5 bi đỏ, 2 bi xanh và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để viên bi lấy được có màu đỏ.

a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Đúng. Ta có \(y' = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị.

c) Đúng. Ta có \(y = \frac{{2{x^2} - x + 2}}{{x - 1}} = 2x + 1 + \frac{3}{{x - 1}}\) nên đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x + 1\).

d) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(x = 1\).

Xét điểm \(A\left( {a\,;\,\frac{{2{a^2} - a + 2}}{{a - 1}}} \right)\,\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\).

Tổng khoảng cách từ \(A\) đến hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) là

\(d = \left| {a - 1} \right| + \frac{{\left| {2a - \frac{{2{a^2} - a + 2}}{{a - 1}} + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \left| {a - 1} \right| + \frac{3}{{\sqrt 5 \left| {a - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a - 1} \right|.\frac{3}{{\sqrt 5 \left| {a - 1} \right|}}} = 2\sqrt {\frac{3}{{\sqrt 5 }}} > 2,3\).

Gọi \({A_k}\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ ở lần thứ \(k\)”; \(k = 1,2,3.\)

Theo đầu bài ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,5\); \(P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{30}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \frac{{20 \times 0,5}}{{50}} = \frac{1}{5}.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Người thợ săn bắn trúng thỏ”. Khi đó: \(A = {A_1} \cup \overline {{A_1}} {A_2} \cup \overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}.\)

Vì \(3\) biến cố \({A_1}\), \(\overline {{A_1}} {A_2}\), \(\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}\) xung khắc từng đôi nên: \(P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right).\)

Theo công thức nhân xác suất \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)\)\( = \left( {1 - 0,5} \right) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right)\)

\( = \left[ {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right] \cdot P\left[ {1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)} \right] \cdot P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} } \right) = \left( {1 - 0,5} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{15}}.\)

Do đó: \(P\left( A \right) = 0,5 + \frac{1}{6} + \frac{1}{{15}} = \frac{{11}}{{15}}.\)

Trả lời: \(\frac{{11}}{{15}}\).