Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {4;1} \right);B\left( {2; - 3} \right);C\left( {8;9} \right)\).

a) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 12} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {6;12} \right) = 3\left( {2;4} \right) = 3\overrightarrow {BA} \).

Do đó vectơ \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BC} \).

c) Có \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;8} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 6; - 12} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 4 \cdot \left( { - 6} \right) + 8 \cdot \left( { - 12} \right) = - 120\).

d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {OD} = \left( {x;y} \right),\overrightarrow {DB} = \left( {2 - x; - 3 - y} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {8 - x;9 - y} \right)\).

Suy ra

\(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \left( {30x + 19\left( {2 - x} \right) - 3\left( {8 - x} \right);30y + 19\left( { - 3 - y} \right) - 3\left( {9 - y} \right)} \right) = \left( {14x + 14;14y - 84} \right)\).

Mà \(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}14x + 14 = 0\\14y - 84 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 1;6} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right);\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9} \right)\).

Có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 9}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 135^\circ \).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.