Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thoả mãn \(a < 5\) và hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + {x^2} - 3\) có \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án  ___

• Với \(a = b = 0\) thoả mãn.

• Với \(a = 0\,;\,\,b \ne 0\) hàm bậc 3 không tồn tại min, \(\max \) (không thoả mãn).

• Với \(a < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \Rightarrow \) Không tồn tại min \(f(x)\) (loại) \( \Rightarrow a > 0\).

Do đó \(a > 0\) và \(a < 5,a \in \mathbb{Z}\) nên \(a \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = - 3 \Rightarrow \) Để hàm số thoả mãn yêu cầu thì \(f\left( x \right) \ge - 3\,;\,\,\forall x \ne 0.\)

\( \Leftrightarrow a{x^4} + b{x^3} + {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {a{x^2} + bx + 1} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow a{x^2} + bx + 1 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \Delta = {b^2} - 4a \le 0 \Leftrightarrow {b^2} \le 4a\).

• Với \(a = 1 \Rightarrow - 2 \le b \le 2\) có 5 cặp.                                    

• Với \(a = 2 \Rightarrow - 2\sqrt 2 \le b \le 2\sqrt 2 \) có 5 cặp.

• Với \(a = 3 \Rightarrow - 2\sqrt 3 \le b \le 2\sqrt 3 \Rightarrow - 3 \le b \le 3\) có 7 cặp.                                   

• Với \(a = 4 \Rightarrow - 4 \le b \le 4\) có 9 cặp.

Vậy tổng cộng có \(1 + 5 + 5 + 7 + 9 = 27\) cặp \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thoả mãn.

Đáp án cần nhập là: 27.