Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\] và đường thẳng \(d:\frac{x}{3} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}.\) Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ \(M\) kẻ được đến \(\left( S \right)\) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với \(d\) (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án  __

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có \[I\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,3} \right)\], bán kính \(R = 5.\)

Vì \(M \in Oy\) nên \(M\left( {0\,;\,\,m\,;\,\,0} \right).\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(3x + 5y - 4z - 5m = 0.\)

Khi đó \(\left( P \right)\) chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ \(M\) và cùng vuông góc với d.

Để tồn tại các tiếp tuyến thoả mãn bài toán điều kiện là

\(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) < R\\IM > R\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| { - 19 - 5m} \right|}}{{5\sqrt 2 }} < 5\\\sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + 10} > 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {5m + 19} \right| < 25\sqrt 2 \\{\left( {m + 2} \right)^2} > 15\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 25\sqrt 2 - 19}}{5} < m < \frac{{25\sqrt 2 - 19}}{5}\\\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt {15} - 2\\m < - \sqrt {15} - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {15} - 2 < m < \frac{{25\sqrt 2 - 19}}{5}\\\frac{{ - 25\sqrt 2 - 19}}{5} < m < - \sqrt {15} - 2\end{array} \right.\).

Vì \(m\) là số nguyên nên \[m \in \left\{ {2\,;\,\,3\,;\,\, - 10\,;\,\, \ldots \,;\,\, - 6} \right\}.\]

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn bài toán.

Đáp án cần nhập là: 7.