Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\] và đường thẳng \(d:\frac{x}{3} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}.\) Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ \(M\) kẻ được đến \(\left( S \right)\) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với \(d\) (nhập đáp án vào ô trống)?
Đáp án __
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có \[I\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,3} \right)\], bán kính \(R = 5.\)
Vì \(M \in Oy\) nên \(M\left( {0\,;\,\,m\,;\,\,0} \right).\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).
Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(3x + 5y - 4z - 5m = 0.\)
Khi đó \(\left( P \right)\) chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ \(M\) và cùng vuông góc với d.
Để tồn tại các tiếp tuyến thoả mãn bài toán điều kiện là
\(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) < R\\IM > R\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| { - 19 - 5m} \right|}}{{5\sqrt 2 }} < 5\\\sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + 10} > 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {5m + 19} \right| < 25\sqrt 2 \\{\left( {m + 2} \right)^2} > 15\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 25\sqrt 2 - 19}}{5} < m < \frac{{25\sqrt 2 - 19}}{5}\\\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt {15} - 2\\m < - \sqrt {15} - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {15} - 2 < m < \frac{{25\sqrt 2 - 19}}{5}\\\frac{{ - 25\sqrt 2 - 19}}{5} < m < - \sqrt {15} - 2\end{array} \right.\).
Vì \(m\) là số nguyên nên \[m \in \left\{ {2\,;\,\,3\,;\,\, - 10\,;\,\, \ldots \,;\,\, - 6} \right\}.\]
Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn bài toán.
Đáp án cần nhập là: 7.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\frac{7}{{11}}\].
B. \[\frac{7}{{13}}\].
C. \[\frac{7}{{22}}\].
D. \[\frac{3}{{11}}\].
Lời giải
Gọi biến cố A: “Thỏ được bắt từ chuồng I bỏ sang chuồng II là thỏ trắng”.
Biến cố B: “Thỏ được bắt ra từ chuồng II là thỏ trắng”.
Theo đề ta có: \(P\left( A \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\).
Có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{11}}\).
Cần tính: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}}}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}}}} = \frac{7}{{13}}\). Chọn B.
Câu 2
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
B. \(\sqrt 5 .\)
C. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}.\)
D. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)
Lời giải
Ta có \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\); kẻ \(AH \bot BD\) tại \[H.\]
Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AH \bot BD}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot SH.\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SBD} \right),\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {HA,\,HS} \right) = \widehat {SHA}.\)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
Suy ra \(\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{2a}}{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}} = \sqrt 5 .\) Chọn B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[2\,\,400\] năm.
B. \[2\,\,300\] năm.
C. \[2\,\,387\] năm.
D. \[2\,\,378\] năm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. 20.
B. 25.
C. \(\frac{{45}}{2}.\)
D. \(\frac{{25}}{2}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập