Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f\prime \left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

    

\(f\prime \left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right) \Rightarrow g\prime \left( x \right) = \left( {4x - 12} \right) \cdot f\prime \left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\).

Suy ra \(g\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4x - 12} \right) \cdot f\prime \left( {2{x^2} - 12x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{f\prime \left( {2{x^2} - 12x + m} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{2{x^2} - 12x + m = 0}\\{2{x^2} - 12x + m = 4}\\{2{x^2} - 12x + m = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{2{x^2} - 12x + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{2{x^2} - 12x + m - 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right)}\\{2{x^2} - 12x + m + 1 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Vì phương trình (3) có nghiệm kép nên ta chỉ xét 2 phương trình (1) và (2).

Nhận xét: phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung.

Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 3.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{{\Delta '}_{\left( 1 \right)}} > 0\\2 \cdot {3^2} - 12 \cdot 3 + m \ne 0\\{{\Delta '}_{\left( 2 \right)}} > 0\\2 \cdot {3^2} - 12 \cdot 3 + m - 4 \ne 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}36 - 2m > 0\\m \ne 18\\36 - 2\left( {m - 4} \right) > 0\\m \ne 22\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 18\\m \ne 18\\m < 22\\m \ne 22\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 18} \right.} \right.} \right.\).

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m \in \{ 1;2;3; \ldots ;17\} \). Chọn C.