Chứng minh rằng với ∀ m các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x^2 − 2 ( m + 2 )x − m − 7 = 0 b) x^2 − 4 m^2 x − 4m − 2 = 0
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 7} \right) = {m^2} + 5m + 11 = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\) với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) \({x^2} - 4{m^2}x - 4m - 2 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = 4{m^4} + 4m + 2 = 2(2{m^4} + 2m + 1)\)
mà \(2{m^4} + 2m + 1 = 2\left( {{m^4} - {m^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{m^2} + m + \frac{1}{4}} \right) = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)
Dấu “=” xảy ra khi \({m^2} - \frac{1}{2} = 0\)và \(m + \frac{1}{2} = 0\) suy ra vô lý \( \Rightarrow \Delta ' > 0\forall m.\)
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập