Cho tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\) có \(OI = 4cm\) và \(IM = 3cm\). Khi quay tam giác \(OIM\) quanh cạnh góc vuông \(OI\) thì đường gấp khúc \(OIM\) tạo thành hình nón.

a) Tính độ dài đường sinh hình nón.

b) Tính diện tích xung quanh hình nón.        

c) Tính diện tích toàn phần hình nón. 

d) Tính thể tích hình nón.

a) khi quay tam giác \[{60^ \circ }\] xung quanh trục \[30{\rm{ }}cm\], tao ra hình nón có:

bán kính đáy \(r = \frac{{BC}}{2} = 1dm\), đường sinh là \[{r_1},{h_1},{r_2},{h_2}\]

Diện tích xung quanh hình nón là:\[{60^ \circ }\]

b) Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 1} = 1dm\]

thể tích hình nón: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .1.1 = \frac{1}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\]

· Với \[r = 3,h = 4\]

Đường sinh của hình nón: \[l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 15\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 24\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[h = 4,l = 10\]

Bán kính của hình nón: \[r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 60\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 64\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{144}}{3}\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[r = 2,{S_{xq}} = 14\pi \]

Đường sinh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl \Rightarrow l = \frac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}} = \frac{{14\pi }}{{2\pi }} = 7cm\]

Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{7^2} - {2^2}} = 3\sqrt 5 cm\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 18\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 4\sqrt 5 \pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[r = 4,l = 9\]

Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {81 - 16} = \sqrt {65} cm\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 36\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{16\sqrt {65} \pi }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\]