Chứng minh rằng với \(\forall m\) các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\) b) \({x^2} - 4{m^2}x - 4m - 2 = 0\)

a) Vẽ đồ thị parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}.\)

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm cần tìm với \(a \ne 0,\,b \ne 0\).

Vì \(M\) có tung độ gấp hai lần hoành độ nên \(b = 2a\)

Khi đó: \(M\left( {a,2a} \right)\)

Vì \(M\left( {a,2a} \right) \in \left( P \right):y = 2{x^2}\) nên:

\(\begin{array}{l}2a = 2{a^2}\\2{a^2} - 2a = 0\\{a^2} - a = 0\\a\left( {a - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(a = 0\) và \(a = 1\)

Vì \(a \ne 0\) nên ta chọn \(a = 1\). Vậy \(M\left( {1;2} \right)\)

Gọi số thứ nhất là \(x\), số thứ hai là \(y\).

Theo đề bài tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị nên ta có phương trình \(x + y = 17\). \[\left( 1 \right)\]

Số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị nên ta có phương trình \((x + 3)(y + 2) = 105\). \[\left( 2 \right)\]

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 17}\\{(x + 3)(y + 2) = 105}\end{array}} \right.\)

Rút \(y\) từ \((1)\) thế vào \((2)\) và thu gọn, ta được

\({x^2} - 16x + 48 = 0.\)

Giải phương trình ta được \({x_1} = 12\) (thỏa mãn) và \({x_2} = 4\) (thỏa mãn).

Vậy nếu số thứ nhất là 12 thì số thứ hai là 5; nếu số thứ nhất là 4 thì số thứ hai là 12.