Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0\)                    (1)

Định \(m\) để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu;

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

c) Có đúng một nghiệm dương.

\(\begin{array}{*{20}{c}}{{\Delta ^\prime } = {{(m - 1)}^2} - (m + 1) = {m^2} - 3m = m(m - 3)}\\{s = 2(m - 1);P = m + 1}\end{array}\)

a) (1) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)

b) (1) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right.\)

                                                              \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m(m - 3) > 0}\\{2(m - 1) > 0 \Leftrightarrow m > 1}\\{m + 1 > 0}\end{array}} \right.\)

c) Có các trường hợp xảy ra:

i) (1) Có nghiệm kép dương: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = 0}\\{ - \frac{b}{a} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m(m - 3) = 0}\\{m - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow m = 3} \right.} \right.\)

ii) (1) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)

iii) (1) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

(1) có 1 nghiệm \({x_1} = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Khi đó: (1) \( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 4 < 0}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m = 3\) hoặc \(m = - 1\) thì phương trình có đúng 1 nghiệm dương.