Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a .

Xét \[ABC\] vuông tại \[A\], theo pythagore ta có:

\[\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\B{C^2} = {10^2} + {\left( {\sqrt {21} } \right)^2}\\B{C^2} = 121\\ \Rightarrow BC = \sqrt {121}  = 11\left( {cm} \right)\end{array}\]

Tam giác  \[ABC\] vuông tại \[A\] nên bán kính \[R\] đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] bằng nữa cạnh huyền \[BC\] hay \[R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{11}}{2} = 5,5\left( {cm} \right)\]

Đường tròn \[\left( {I;r} \right)\] tiếp xúc với các cạnh \[AB,AC,BC\] theo thứ tự \[M,N,P\]

Ta có: \[{S_{AIB}} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}r.AB\,\left( 1 \right);\,{S_{AIC}} = \frac{1}{2}IN.AC = \frac{1}{2}r.AC\,\left( 2 \right);\,{S_{BIC}} = \frac{1}{2}r.BC\,\left( 3 \right)\]

Cộng \[\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\] vế theo vế, ta được: \[\frac{{{S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{2}r.\left( {AB + AC + BC} \right)\]

Mà \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{6.8}}{2} = 24\left( {c{m^2}} \right)\] , \[BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = \sqrt {100}  = 10\left( {cm} \right)\]

Nên ta có: \[24 = \frac{1}{2}r\left( {6 + 8 + 10} \right) \Rightarrow r = 2\left( {cm} \right)\].