Ba vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) ở một công viên là ba đỉnh của một tam giác đều cạnh 15 m . Người ta cần chọn vị trí O cách đều ba vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) để làm một cột đền. Tính khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\).

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC .

Kẻ đường cao AH , khi đó tâm I của đường tròn nội tiếp (giao điểm của ba đường phân giác cũng là trọng tâm).

Ta có AH là đường trung tuyến\( \Rightarrow {\rm{H}}\)là trung điểm của BC hay \({\rm{BH}} = {\rm{CH}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (m).

Xét tam giác BHI vuông tại H . Có \({\rm{BH}} = 6\;{\rm{cm}}\) và $\widehat{\text{IBH}}={30}^{°}$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $\text{IH}=\text{BH}\cdot \tan \text{IBH}=6\cdot \tan {30}^{°}=2\sqrt{3}( \text{m})$

Vậy bán kính của phần đất trồng hoa là \({\rm{r}} = 2\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\)

Do đó diện tích phần đất trồng hoa là \({\rm{S}} = \pi \cdot {(2\sqrt 3 )^2} = 12\pi \left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)

a) Xét tam giác ABC , ta có: \({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}\left( {{{1500}^2} = {{900}^2} + {{1200}^2}} \right)\)

Theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A .

Phần đất giới hạn là tam giác vuông, gọi P là chu vi, ta có: \(P = AB + BC + AC = 900 + 1500 + 1200 = 3600(m)\)

Và diện tích \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{AB}} \cdot {\rm{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1200 = 540000\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)

b) Gọi O là nơi xây dựng khách sạn và khoảng cách từ khách sạn đến ba con đường là \({\rm{OH}} = {\rm{OI}} = {\rm{OK}} = {\rm{R}}\).

Ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}}\) (trong đó \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}}\) lần lượt là diện tích các tam giác AOB, AOCvà BOC)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AB}} + \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AC}} + \frac{1}{2}R \cdot BC\)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}}({\rm{AB}} + {\rm{AC}} + {\rm{BC}})\)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{P }}\) (\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\)là diện tích và \(P\) là chu vi)\( \Rightarrow {\rm{R}} = \frac{{2 \cdot \;{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{\rm{P}}} = \frac{{2.540000}}{{3600}} = 300(\;{\rm{m}})\)

Khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường 300 (m).