Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,\,2\,\,{\rm{cm}}} \right)\) là

Chọn D

Gọi tam giác đều \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\] có cạnh là \[a\].

Khi đó \[O\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] nên \(AO = 2\,\,{\rm{cm}}\).

Gọi \[AH\] là đường trung tuyến.

Suy ra \(2 = AO = \frac{2}{3}AH\) hay \(AH = 3\,\,{\rm{cm}}\).

Áp dụng định lý Pythagore với tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\], ta có: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)

Khi đó \[AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Do đó \(3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) hay \(a = 2\sqrt 3 \) (cm).

Diện tích tam giác \[ABC\] là: \(\frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt 3  = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vậy diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,\,2\,\,{\rm{cm}}} \right)\) là \(3\sqrt 3 \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).