Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn $({\rm{O}})$. Biết rằng đường tròn $({\rm{O}})$ có bán kính bằng 3 cm . Tính diện tích tam giác ABC

Câu hỏi trong đề: 17 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kẻ đường cao AH vì tam giác ABC đều (gt) nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC , ta có: $\hat{BAH} = \hat{CAH} = \frac{\hat{BAC}}{2} = \frac{60^{°}}{2} = 30^{°}$ Kéo dài AH cắt đường tròn $({\rm{O}})$ tại D .

$Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn $({\rm{O}})$. Biết rằng đường tròn $({\rm{O}})$ có bán kính bằng 3 cm . Tính diện tích tam giác ABC (ảnh 1)$

Khi đó $\widehat {{\rm{BOD}}}$ và $\widehat {{\rm{BAD}}}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BD $\Rightarrow \hat{BOD} = 2 \hat{BAD} = {2.30}^{°} = 60^{°}$

Tam giác BHO vuông tại H có cạnh huyền ${\rm{OB}} = 3\;{\rm{cm}}$ (gt) và $\hat{BOD} = 60^{°}$ . Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $BH = OB \cdot \sin BOH = 3 \cdot \sin 60^{°} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (cm)$

Vì đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC . $\Rightarrow BC = 2 BH = 2 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} (cm)$

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền ${\rm{AB}} = {\rm{BC}} = 3\sqrt 3 (\;{\rm{cm}})$ và góc $\hat{BAH} = 30^{°} (cmt)$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $AH = AB \cdot \cos BAH = 3 \sqrt{3} \cdot \cos 30^{°} = \frac{9}{2} (cm)$

Gọi ${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}$ là diện tích tam giác đều, ta có: ${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{AH}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đường tròn có bán kính 3 cm. Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó.

Xem đáp án

Lời giải

\[\begin{array}{l}a = R\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\\S = {a^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\]

Câu 2

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 9cm,AC = 12cm\]. Gọi \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp, \[G\] là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài \[IG\]

Xem đáp án

Lời giải

$Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 9cm,AC = 12cm\]. Gọi \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp, \[G\] là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài \[IG\] (ảnh 1)$

Gọi \[D,E,F\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( I \right)\] với \[AB\]

\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], theo định lý Pytago ta có: \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\left( {cm} \right)\]

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AD = AF;BD = BE;CE = CF\]

Do đó \[2AD + 2BE + 2CE = AB + BC + CA = 9 + 12 + 15 = 36\]

\[ \Leftrightarrow 2AD + 2BC = 36 \Leftrightarrow AD = 3\left( {cm} \right) \Rightarrow BD = 6\left( {cm} \right);DI = 3\left( {cm} \right)\]

Gọi \[N = BI \cap AC\], ta có: \[\frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{{BG}}{{BM}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IG//NM\\IG = \frac{2}{3}NM\end{array} \right.\]

Ta có \[\diamondsuit IDAF\] là hình vuông, có: \[\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DI}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AN = 4,5\left( {cm} \right)\]

Mà \[M\] là trung điểm của \[AC\] nên: \[NM = AM - AN = 6 - 4,5 = 1,5\left( {cm} \right) \Rightarrow IG = 1\left( {cm} \right)\]

Câu 3