Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn \(({\rm{O}})\). Biết rằng đường tròn \(({\rm{O}})\) có bán kính bằng 3 cm . Tính diện tích tam giác ABC

Kẻ đường cao AH vì tam giác ABC đều (gt) nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC , ta có: $\widehat{\text{BAH}}=\widehat{\text{CAH}}=\frac{\widehat{\text{BAC}}}{2}=\frac{{60}^{°}}{2}={30}^{°}$ Kéo dài AH cắt đường tròn \(({\rm{O}})\) tại D .

Khi đó \(\widehat {{\rm{BOD}}}\) và \(\widehat {{\rm{BAD}}}\) lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BD $\Rightarrow \widehat{\text{BOD}}=2\widehat{\text{BAD}}={2.30}^{°}={60}^{°}$

Tam giác BHO vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{OB}} = 3\;{\rm{cm}}\) (gt) và $\widehat{\text{BOD}}={60}^{°}$. Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $\text{BH}=\text{OB}\cdot \sin \text{BOH}=3\cdot \sin {60}^{°}=\frac{3\sqrt{3}}{2}( \text{cm})$

Vì  đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC . $\Rightarrow \text{BC}=2\text{BH}=2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}( \text{cm})$

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{AB}} = {\rm{BC}} = 3\sqrt 3 (\;{\rm{cm}})\) và góc $\widehat{\text{BAH}}={30}^{°}\left(\text{cmt}\right)$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:  $\text{AH}=\text{AB}\cdot \cos \text{BAH}=3\sqrt{3}\cdot \cos {30}^{°}=\frac{9}{2}( \text{cm})$

Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\) là diện tích tam giác đều, ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{AH}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt 3  = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)