Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 cm và nội tiếp đường tròn (O) như hình vẽ.

a) Tính bán kính R của đường tròn (O).

b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC .

a) Kẻ đường cao AH của tam giác đều ABC có cạnh 3 cm ta có \({\rm{AH}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}(\;{\rm{cm}})\).

Vì đều nên trực tâm O cùng trùng với trọng tâm, khi đó \({\rm{OA}} = \frac{2}{3} \cdot {\rm{AH}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \) (cm)

Vậy bán kính R của đường tròn \(({\rm{O}})\) là:\({\rm{OA}} = \sqrt 3 (\;{\rm{cm}})\)

b) Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\) là diện tích tam giác đều ABC cạnh 3 cm , ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{{{3^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Gọi S là diện tích hình tròn \(({\rm{O}})\), ta có:\({\rm{S}} = \pi \cdot {(\sqrt 3 )^2} = 3\pi \left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Do đó diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC là: \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = \frac{1}{3}\left( {3\pi - \frac{{9\sqrt 3 }}{4}} \right) \approx 1,8\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)