Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của nó.

Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có:

\(\widehat {ADB} = \frac{{\left( {6 - 2} \right){{.180}^0}}}{6} = {120^0} \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DBA} = {30^0};\)

\(\widehat {ADC} = \frac{{\left( {5 - 2} \right){{180}^0}}}{5} = {108^0} \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DCA} = {36^0};\)  

Suy ra \(\widehat {BDC} = {360^0} - {120^0} - {108^0} = {132^0}\) .

Ta có ∆BDC \[\left( {DB = DC} \right)\] cân tại D. Do đó \(\widehat {DBC} = \widehat {DCB} = \frac{{{{180}^0} - {{132}^0}}}{2} = {24^0}\) .

Suy ra \(\widehat {BAC} = {30^0} + {36^0} = {66^0};\widehat {{\rm{ }}ABC} = {30^0} + {24^0} = {54^0};\widehat {{\rm{ }}BCA} = {24^0} + {36^0} = {60^0}\)

a) Ta có mỗi góc trong của ngũ giác đều có số đo là \(108^\circ \) hay \[\widehat {AED} = 108^\circ \];  Tam giác \[AED\]cân tại \[E\]từ đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}} = 36^\circ \); Tương tự tính được \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}} = 36^\circ  = \widehat {{D_1}}\)

Vậy \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{E_1}} + \widehat {{A_1}} = 72^\circ \) (góc ngoài của tam giác \(EAI\)) và \({D_2} = \widehat {EDC} - \widehat {{D_1}} = 108^\circ  - 36^\circ  = 72^\circ \). Vậy \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{I_1}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra \[IB//DC\]. Chứng minh tương tự ta có \[DI//BC\] hay \(DIBC\) là hình bình hành.

b) Xét tam giác \(AIE\) và tam giác \(EAD\), ta có

   + Góc \(A\) chung;

   + \(\widehat {AEI} = \widehat {ADE}\).

\( \Rightarrow \Delta AIE\~\Delta AED(\;{\rm{g}} - {\rm{g}})\)suy ra \(\frac{{AI}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{AD}}\) suy ra \(AI \cdot AD = A{E^2} \cdot B{C^2} = D{I^2}\)