Cho tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\) có \(OI = 4cm\) và \(IM = 3cm\). Khi quay tam giác \(OIM\) quanh cạnh góc vuông \(OI\) thì đường gấp khúc \(OIM\) tạo thành hình nón.

a) Tính độ dài đường sinh hình nón.

b) Tính diện tích xung quanh hình nón.        

c) Tính diện tích toàn phần hình nón. 

d) Tính thể tích hình nón.

Gọi \(r,h\) lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón ban đầu.

Thể tích hình nón ban đầu là \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\].

Giữ nguyên bán kính đáy của hình nón và giảm chiều cao của nó \(S\) lần thì thể tích của hình nón này là \(ABC\).\[{V_2} = \frac{1}{3}\pi {r^2}\frac{h}{2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{2}{V_1}\]

Thể tích của hình nón này giảm \(S.ABC\) lần so với ban đầu

· Với \[r = 3,h = 4\]

Đường sinh của hình nón: \[l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 15\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 24\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[h = 4,l = 10\]

Bán kính của hình nón: \[r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 60\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 64\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{144}}{3}\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[r = 2,{S_{xq}} = 14\pi \]

Đường sinh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl \Rightarrow l = \frac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}} = \frac{{14\pi }}{{2\pi }} = 7cm\]

Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{7^2} - {2^2}} = 3\sqrt 5 cm\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 18\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 4\sqrt 5 \pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[r = 4,l = 9\]

Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {81 - 16} = \sqrt {65} cm\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 36\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{16\sqrt {65} \pi }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\]