4 bài tập Tính bán kính đáy, đường cao, diện tích, thể tích của hình nón (có lời giải)

· Với \[r = 3,h = 4\]

Đường sinh của hình nón: \[l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 15\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 24\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[h = 4,l = 10\]

Bán kính của hình nón: \[r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 60\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 64\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{144}}{3}\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[r = 2,{S_{xq}} = 14\pi \]

Đường sinh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl \Rightarrow l = \frac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}} = \frac{{14\pi }}{{2\pi }} = 7cm\]

Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{7^2} - {2^2}} = 3\sqrt 5 cm\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 18\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 4\sqrt 5 \pi \left( {c{m^2}} \right)\]

· Với \[r = 4,l = 9\]

Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {81 - 16} = \sqrt {65} cm\]

Diện tích xung quanh:      \[{S_{xq}} = \pi rl = 36\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích toàn phần:         \[{S_{tp}} = \pi r\left( {l + r} \right) = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Thể tích: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{16\sqrt {65} \pi }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\]

Gọi \(r,h\) lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón ban đầu.

Thể tích hình nón ban đầu là \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\].

Giữ nguyên bán kính đáy của hình nón và giảm chiều cao của nó \(S\) lần thì thể tích của hình nón này là \(ABC\).\[{V_2} = \frac{1}{3}\pi {r^2}\frac{h}{2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{2}{V_1}\]

Thể tích của hình nón này giảm \(S.ABC\) lần so với ban đầu

a) Xét tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\),Theo pythagore ta có :

     \(\begin{array}{l}O{M^2} = I{M^2} + O{I^2}\\O{M^2} = {3^2} + {4^2}\\O{M^2} = 25\\ \Rightarrow OM = 5\end{array}\).

Khi quay tam giác \(OIM\) quanh cạnh góc vuông \(OI\) thì đường gấp khúc \(OIM\) tạo thành hình nón có bán kính đáy \(r = IM = 3cm\), chiều cao \(h = OI = 4cm\)và đường sinh là cạnh huyền \(l = OM = 5cm\).

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là \(5cm\).

b) Diện tích xung quanh hình nón là:\[{S_{xq}} = \pi rl = \pi .3.5 = 15\pi \left( {c{m^2}} \right)\]  

c) Diện tích toàn phần hình nón là:

d) Thể tích hình nón là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \left( {c{m^3}} \right)\]

a) khi quay tam giác \[{60^ \circ }\] xung quanh trục \[30{\rm{ }}cm\], tao ra hình nón có:

bán kính đáy \(r = \frac{{BC}}{2} = 1dm\), đường sinh là \[{r_1},{h_1},{r_2},{h_2}\]

Diện tích xung quanh hình nón là:\[{60^ \circ }\]

b) Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 1} = 1dm\]

thể tích hình nón: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .1.1 = \frac{1}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\]