Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(20{\rm{ cm}}\). Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí \(A\) và \(D\), kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\) và kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(3{\rm{ cm/s}}\). Hỏi khoảng cách ngắn nhất giữa hai chú kiến là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

             

   Đáp án: \(11,7\)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Lúc khó: \(A\left( {0,0,0} \right),B\left( {20,0,0} \right),D\left( {0,20,0} \right),D\prime \left( {0,20,20} \right)\)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AD\prime \) là \(\overrightarrow {AD'} = \left( {0,20,20} \right)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {AD'} } \right| = 20\sqrt 2 \)

Kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\)

⇒ Vectơ vận tốc kiến vàng: \({\vec v_1} = \frac{{\overrightarrow {AD'} }}{{\left| {\overrightarrow {AD'} } \right|}}.{v_1} = \left( {0;\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

- Vectơ chỉ phương đường thẳng \(DB\) là \(\overrightarrow {DB} = \left( {20, - 20,0} \right)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {DB} } \right| = 20\sqrt 2 \)

Kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(3{\rm{ cm/s}}\).

⇒ Vectơ vận tốc kiến đen: \({\vec v_2} = \frac{{\overrightarrow {BD} }}{{\left| {BD} \right|}}.{v_2} = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}, - \frac{3}{{\sqrt 2 }},0} \right)\)

Gọi \(t\) (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát.

* Vị trí kiến vàng tại thời điểm t là \(M\left( t \right) = \left( {0,\sqrt 2 t,\sqrt 2 t} \right)\)

* Vị trí kiến đen tại thời điểm t là \(N\left( t \right) = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t,20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t,0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai chú kiến là \(MN\) và

\(M{N^2}(t){\rm{ }} = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t} \right)^2} + {\left( {20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t - \sqrt 2 t} \right)^2} + {(\sqrt 2 t)^2} = 19{t^2} - 100\sqrt 2 t + 400\)

Giá trị nhỏ nhất của \(M{N^2}\) đạt được khi: \(t = \frac{{50\sqrt 2 }}{{19}}\)

Khi đó: \(M{N_{\min }} = \sqrt {\frac{{2600}}{{19}}} \approx 11,7\left( {\;{\rm{cm}}} \right)\)