Tại một khu bảo tồn thiên nhiên, các nhà khoa học đã thả một số cá thể của một loài động vật quý hiếm trong một khu rừng rộng 10 hecta và theo dõi sự tăng trưởng số lượng của chúng. Họ thấy rằng số lượng cá thể của loài động vật đó sau \(t\) năm kể từ khi nuôi tại khu bảo tồn được xấp xỉ bởi hàm số \(h\left( t \right) = 70{\log _2}\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right) + 30\) (\(t\) là số thực dương) và tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể của loài động vật đó tại thời điểm sau đúng \(t\) năm kể từ khi nuôi được xấp xỉ bởi hàm số \(h'\left( t \right)\)(đơn vị: cá thể /năm).

Đáp án: \[40\].

Gọi \(x\) là số lần tăng giá (\(x \ge 0\)). Mỗi lần tăng 2 nghìn đồng.

Giá bán mới: \(30 + 2x\) (nghìn đồng). (\(30 + 2x \le 50 \Leftrightarrow x \le 10\))

Tiền lãi trên mỗi kg: \((30 + 2x) - 24 = 6 + 2x\) (nghìn đồng).

Tổng lượng bưởi bán được:

Số đơn hàng: \(60 - 4x\) (đơn).

Số kg mỗi đơn: \(100 - 2x\) (kg).

\( \Rightarrow \) Tổng khối lượng \( = (60 - 4x)(100 - 2x)\).

Hàm lợi nhuận \(L(x)\) thu được là: \(L(x) = (60 - 4x)(100 - 2x)(6 + 2x)\)

\[L(x) = 4(15 - x) \cdot 2(50 - x) \cdot 2(3 + x) = 16 \cdot [(15 - x)(50 - x)(3 + x)] = 16\left( {{x^3} - 62{x^2} + 555x + 2250} \right)\]

\(L'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} \approx 36,2(L)\\{x_2} \approx 5,11(N)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Thay \(x \approx 5,11\) vào công thức giá bán:

\({\rm{Gi\'a b\'a n}} = 30 + 2 \times 5,11 = 40,22{\rm{ }}\)(nghìn đồng)

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: 40 nghìn đồng.

Đáp án: 1201.

Cách 1:

Gọi \(H\) là trung điểm \(AO\). Ta có \(MH\) song song \(SO\) nên \(MH\) vuông góc với \((ABCD)\).

Kẻ \(HI\) vuông góc với \(DB\)\((I \in BD)\), \(HK\) vuông góc với \(MI\) \((K \in MI)\) thì \(HK\) vuông góc với \((MDB)\) nên \(d(H,(MDB) = HK\).

Ta có \(MO\)song song với \(SC\) nên \(d(SC,DM) = d(SC,(MDB)) = d(C,(MDB))\)\( = d(A,(MDB)) = 2.d(H,(MDB)) = 2HK\).

Kẻ \(AN\) vuông góc với \(DB\)\((N \in BD)\), , suy ra \(HI = \frac{1}{2}AN = \frac{{12}}{5}\).

Vì \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SA\) tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc \({45^\circ }\) nên \(\widehat {SAO} = \)\({45^\circ }\), do đó tam giác \(SAO\) vuông cân tại \(O\), \(SO = AO = \frac{1}{2}BD = 5\), \(HM = \frac{5}{2}\).

Trong tam giác vuông \(HMI\) ta có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{{1201}}{{3600}}\)\( \Rightarrow HK = \frac{{60}}{{\sqrt {1201} }}\).

Vậy \(d(DM,SC) = 2.HK = \frac{{120}}{{\sqrt {1201} }}\). Do đó \(n = 1201\).

Cách 2:

1. Xây dựng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các điểm:

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) là gốc tọa độ \((0,0,0)\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) với \(AB = 6\) và \(AD = 8\), ta có thể đặt tọa độ các đỉnh của đáy như sau: \(A( - 3, - 4,0)\), \(B(3, - 4,0)\), \(C(3,4,0)\), \(D( - 3,4,0)\).

Kiểm tra lại độ dài các cạnh: \(AB = \sqrt {{{(3 - ( - 3))}^2} + {{( - 4 - ( - 4))}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{6^2}} = 6\);

\(AD = \sqrt {{{( - 3 - ( - 3))}^2} + {{(4 - ( - 4))}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{8^2}} = 8\).
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {36 + 64} = \sqrt {100} = 10\).

Vì \(O\) là tâm của hình chữ nhật, \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\).

Vì \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), nên \(SO\) là chiều cao của hình chóp và \(S\) nằm trên trục \(Oz\).

Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc giữa \(SA\) và hình chiếu của nó lên \((ABCD)\), tức là \(\widehat {SAO}\).

Theo đề bài, \(\widehat {SAO} = {45^\circ }\). Xét tam giác vuông \(SAO\) tại \(O\):

\(SO = AO \cdot \tan (\widehat {SAO}) = 5 \cdot \tan ({45^\circ }) = 5 \cdot 1 = 5\). Vậy tọa độ điểm \(S\) là \((0,0,5)\).

\(M\) là trung điểm của \(SA\). Với \(S(0,0,5)\) và \(A( - 3, - 4,0)\): \(M = \left( { - \frac{3}{2}, - 2,\frac{5}{2}} \right)\).

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(DM\):

Đường thẳng \(SC\) đi qua \(S(0,0,5)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \overrightarrow {SC} = (3,4, - 5)\).

Đường thẳng \(DM\) đi qua \(D( - 3,4,0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \overrightarrow {DM} = \left( {\frac{3}{2}, - 6,\frac{5}{2}} \right)\).

\(d(SC,DM) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SD} .[\vec u,\vec v]} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right|}}\), Vectơ \(\overrightarrow {SD} = ( - 3,4, - 5)\).

Ta có: \(\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \)\( = ( - 20, - 15, - 24)\); \(\left| {\overrightarrow {SD} .[\vec u,\vec v]} \right|\)\( = 120\).

\(\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \sqrt {{{( - 20)}^2} + {{( - 15)}^2} + {{( - 24)}^2}} = \sqrt {400 + 225 + 576} = \sqrt {1201} \).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(DM\) là: \(d(SC,DM) = \frac{{|120|}}{{\sqrt {1201} }} = \frac{{120}}{{\sqrt {1201} }}\).

Theo đề bài, khoảng cách này bằng \(\frac{{120}}{{\sqrt n }}\). Do đó, \(\frac{{120}}{{\sqrt n }} = \frac{{120}}{{\sqrt {1201} }}\). Suy ra \(\sqrt n = \sqrt {1201} \).

Vậy \(n = 1201\).