Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) với \(AB = 6,AD = 8\). Biết \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SA\) tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc \({45^\circ }\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(DM\) bằng \(\frac{{120}}{{\sqrt n }}\), giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu? 

Đáp án: 1201.

Cách 1:

Gọi \(H\) là trung điểm \(AO\). Ta có \(MH\) song song \(SO\) nên \(MH\) vuông góc với \((ABCD)\).

Kẻ \(HI\) vuông góc với \(DB\)\((I \in BD)\), \(HK\) vuông góc với \(MI\) \((K \in MI)\) thì \(HK\) vuông góc với \((MDB)\) nên \(d(H,(MDB) = HK\).

Ta có \(MO\)song song với \(SC\) nên \(d(SC,DM) = d(SC,(MDB)) = d(C,(MDB))\)\( = d(A,(MDB)) = 2.d(H,(MDB)) = 2HK\).

Kẻ \(AN\) vuông góc với \(DB\)\((N \in BD)\), , suy ra \(HI = \frac{1}{2}AN = \frac{{12}}{5}\).

Vì \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SA\) tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc \({45^\circ }\) nên \(\widehat {SAO} = \)\({45^\circ }\), do đó tam giác \(SAO\) vuông cân tại \(O\), \(SO = AO = \frac{1}{2}BD = 5\), \(HM = \frac{5}{2}\).

Trong tam giác vuông \(HMI\) ta có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{{1201}}{{3600}}\)\( \Rightarrow HK = \frac{{60}}{{\sqrt {1201} }}\).

Vậy \(d(DM,SC) = 2.HK = \frac{{120}}{{\sqrt {1201} }}\). Do đó \(n = 1201\).

Cách 2:

1. Xây dựng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các điểm:

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) là gốc tọa độ \((0,0,0)\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) với \(AB = 6\) và \(AD = 8\), ta có thể đặt tọa độ các đỉnh của đáy như sau: \(A( - 3, - 4,0)\), \(B(3, - 4,0)\), \(C(3,4,0)\), \(D( - 3,4,0)\).

Kiểm tra lại độ dài các cạnh: \(AB = \sqrt {{{(3 - ( - 3))}^2} + {{( - 4 - ( - 4))}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{6^2}} = 6\);

\(AD = \sqrt {{{( - 3 - ( - 3))}^2} + {{(4 - ( - 4))}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{8^2}} = 8\).
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {36 + 64} = \sqrt {100} = 10\).

Vì \(O\) là tâm của hình chữ nhật, \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\).

Vì \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), nên \(SO\) là chiều cao của hình chóp và \(S\) nằm trên trục \(Oz\).

Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc giữa \(SA\) và hình chiếu của nó lên \((ABCD)\), tức là \(\widehat {SAO}\).

Theo đề bài, \(\widehat {SAO} = {45^\circ }\). Xét tam giác vuông \(SAO\) tại \(O\):

\(SO = AO \cdot \tan (\widehat {SAO}) = 5 \cdot \tan ({45^\circ }) = 5 \cdot 1 = 5\). Vậy tọa độ điểm \(S\) là \((0,0,5)\).

\(M\) là trung điểm của \(SA\). Với \(S(0,0,5)\) và \(A( - 3, - 4,0)\): \(M = \left( { - \frac{3}{2}, - 2,\frac{5}{2}} \right)\).

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(DM\):

Đường thẳng \(SC\) đi qua \(S(0,0,5)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \overrightarrow {SC} = (3,4, - 5)\).

Đường thẳng \(DM\) đi qua \(D( - 3,4,0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \overrightarrow {DM} = \left( {\frac{3}{2}, - 6,\frac{5}{2}} \right)\).

\(d(SC,DM) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SD} .[\vec u,\vec v]} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right|}}\), Vectơ \(\overrightarrow {SD} = ( - 3,4, - 5)\).

Ta có: \(\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \)\( = ( - 20, - 15, - 24)\); \(\left| {\overrightarrow {SD} .[\vec u,\vec v]} \right|\)\( = 120\).

\(\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \sqrt {{{( - 20)}^2} + {{( - 15)}^2} + {{( - 24)}^2}} = \sqrt {400 + 225 + 576} = \sqrt {1201} \).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(DM\) là: \(d(SC,DM) = \frac{{|120|}}{{\sqrt {1201} }} = \frac{{120}}{{\sqrt {1201} }}\).

Theo đề bài, khoảng cách này bằng \(\frac{{120}}{{\sqrt n }}\). Do đó, \(\frac{{120}}{{\sqrt n }} = \frac{{120}}{{\sqrt {1201} }}\). Suy ra \(\sqrt n = \sqrt {1201} \).

Vậy \(n = 1201\).