Bác An có một cửa hàng chuyên bán buôn bưởi Đoan Hùng, bác nhận thấy rằng: Nếu bán mỗi kilogram bưởi với giá 30 nghìn đồng thì mỗi tuần có 60 đơn hàng và mỗi đơn hàng mua 100 kilogram. Nếu cứ tăng giá mỗi kilogram bưởi thêm 2 nghìn đồng thì hàng tuần số đơn hàng giảm 4 đơn, đồng thời số lượng bưởi mà mỗi đơn hàng đặt mua cũng giảm đi 2 kilogram. Hỏi bác cần bán mỗi kilogram bưởi với giá bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận hàng tuần thu được là lớn nhất, biết giá nhập mỗi kilogram bưởi là 24 nghìn đồng và giá bán không vượt quá 50 nghìn đồng/1kg. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải

a) Đúng. Vì thời điểm ban đầu \(t = 0\), \(h\left( 0 \right) = 70{\log _2}1 + 30 = 30\) (cá thể).

b) Đúng. Vì \(9\) tháng bằng \(\frac{3}{4}\) năm.

Do đó số lượng cá thể của loài động vật đó sau \(9\) tháng kể từ khi bắt đầu nuôi bằng

\(h\left( {\frac{3}{4}} \right) = 70{\log _2}\left( {\frac{{8.\frac{3}{4} + 1}}{{\frac{3}{4} + 1}}} \right) + 30 = 70{\log _2}4 + 30 = 170\).

c) Sai. Vì

\(\begin{array}{l}h\left( t \right) = 70{\log _2}\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right) + 30\\ \Rightarrow h'\left( t \right) = 70.\frac{1}{{\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right).\ln 2}}.{\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right)^\prime } = \left( {\frac{{t + 1}}{{8t + 1}}} \right).\frac{7}{{\ln 2.{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \frac{7}{{\ln 2}}.\frac{1}{{\left( {t + 1} \right).\left( {8t + 1} \right)}}\end{array}\)

Tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể của loài động vật đó tại thời điểm đúng \(6\) năm kể từ khi nuôi là \(h'\left( 6 \right) = \frac{7}{{\ln 2}}.\frac{1}{{\left( {6 + 1} \right).\left( {8.6 + 1} \right)}} = \frac{1}{{49.\ln 2}} = 0,029444275594\)( cá thể /năm).

d) Đúng. Vì \(h'\left( t \right) = \frac{7}{{\ln 2}}.\frac{1}{{\left( {t + 1} \right).\left( {8t + 1} \right)}} > 0,\forall t \ge 0\).

Ta có \(h\left( 0 \right) = 30\)  và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{8t + 1}}{{t + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{8 + \frac{1}{t}}}{{1 + \frac{1}{t}}} = 8\),

suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } h\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {70{{\log }_2}\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right) + 30} \right) = 70.{\log _2}8 + 30 = 240\).

Từ đó ta có BBT của hàm số \(h\left( t \right)\) như sau:

Vậy số lượng cá thể của loài động vật đó không vượt quá \(240\).

Đáp án: \[33\].

Góc ở tâm chắn một cạnh của đa giác có số đo là: \[360^\circ :36 = 10^\circ \].

Góc nội tiếp chắn một cạnh của đa giác có số đo là: \[10^\circ :2 = 5^\circ \].

Để tạo thành một tam giác có một góc bằng \[120^\circ \] thì phải có góc nội tiếp chắn 24 cung liên tiếp từ 24 dây là 24 cạnh liền kề nhau của đa giác.

Chọn 2 đỉnh cách nhau 24 cạnh, có 36 cách chọn (chẳng hạn như \[{A_1}{A_{25}},{A_2}{A_{26}},...,{A_{36}}{A_{24}}\])

Với mỗi cách chọn 2 đỉnh ở trên, có 11 cách chọn đỉnh còn lại thoả mãn (ví dụ chọn cạnh \[{A_1}{A_{25}}\] thì các cách chọn đỉnh còn lại là \[{A_{26}},{A_{27}},...,{A_{36}}\]).

Vậy, số tam giác được tạo thành có một góc bằng \[120^\circ \] là: \[36.11 = 396\] (tam giác).

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ 36 đỉnh của đa giác là: \[C_{36}^3 = 7140\] (cách).

Xác suất cần tìm là: \[P = \frac{{396}}{{7140}} = \frac{{33}}{{595}}\].

Vậy \[595P = 33\].