Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\).

a) Chứng minh \(\Delta DGE\) cân;

b) Chứng minh \(BD + CE > \frac{3}{2}BC\).

Gọi \(x,\,\,y,\,\,z,\,\,t\) (học sinh) lần lượt là số học sinh bốn khối 6; 7; 8; 9 \(\left( {0 < x,\,\,y,\,\,z,\,\,t < 660} \right)\).

Vì tổng số học sinh là 660 nên \(x + y + z + t = 660\).

Vì số học sinh tỉ lệ thuận với \[3;\,\,3,5;\,\,4,5;\,\,4\] nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4} = \frac{{x + y + z + t}}{{3 + 3,5 + 4,5 + 4}} = \frac{{660}}{{15}} = 44\)

Suy ra \(\frac{x}{3} = 44\) nên \(x = 44\,\,.\,\,3 = 132\) (thỏa mãn);

\(\frac{y}{{3,5}} = 44\) nên \(y = 44\,\,.\,\,3,5 = 154\) (thỏa mãn);

\(\frac{z}{{4,5}} = 44\) nên \(z = 44\,\,.\,\,4,5 = 198\) (thỏa mãn);

\(\frac{t}{3} = 44\) nên \(t = 44\,\,.\,\,4 = 176\) (thỏa mãn).

Vậy số học sinh bốn khối 6; 7; 8; 9 lần lượt là 132 học sinh; 154 học sinh; 198 học sinh; 176 học sinh.

Ta có: \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}}\);

\(\frac{{cx - az}}{b} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}}\); \(\frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}\).

Mà \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\)

Nên \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}\)

\( = \frac{{abz - acy + bcx - baz + cay - cbx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\).

Do đó \[bz - cy = 0;\,\,ay - bx = 0\].

Khi đó, \(bz = cy\) nên \(\frac{b}{y} = \frac{c}{z}\) và \(ay = bx\) nên \(\frac{b}{y} = \frac{a}{x}\).

Do đó \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\) (đpcm).