Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\).

a) Chứng minh \(\Delta DGE\) cân;

b) Chứng minh \(BD + CE > \frac{3}{2}BC\).

a) \[P(x) = \left( {2{x^2} - {x^3} + x - 5} \right) + \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1} \right)\]

\[ = 2{x^2} - {x^3} + x - 5 + {x^3} - 2{x^2} + 3x - 1\]

\[ = \left( { - {x^3} + {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 5 - 1} \right)\]\( = 4x - 6\).

Vậy \(P\left( x \right) = 4x - 6\).

b) Đa thức \(P\left( x \right) = 4x - 6\) có nghiệm khi \(4x - 6 = 0\)

\(4x = 6\)

\(x = \frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\) là \(x = \frac{3}{2}\).

Gọi \(x,\,\,y,\,\,z,\,\,t\) (học sinh) lần lượt là số học sinh bốn khối 6; 7; 8; 9 \(\left( {0 < x,\,\,y,\,\,z,\,\,t < 660} \right)\).

Vì tổng số học sinh là 660 nên \(x + y + z + t = 660\).

Vì số học sinh tỉ lệ thuận với \[3;\,\,3,5;\,\,4,5;\,\,4\] nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4} = \frac{{x + y + z + t}}{{3 + 3,5 + 4,5 + 4}} = \frac{{660}}{{15}} = 44\)

Suy ra \(\frac{x}{3} = 44\) nên \(x = 44\,\,.\,\,3 = 132\) (thỏa mãn);

\(\frac{y}{{3,5}} = 44\) nên \(y = 44\,\,.\,\,3,5 = 154\) (thỏa mãn);

\(\frac{z}{{4,5}} = 44\) nên \(z = 44\,\,.\,\,4,5 = 198\) (thỏa mãn);

\(\frac{t}{3} = 44\) nên \(t = 44\,\,.\,\,4 = 176\) (thỏa mãn).

Vậy số học sinh bốn khối 6; 7; 8; 9 lần lượt là 132 học sinh; 154 học sinh; 198 học sinh; 176 học sinh.