(3 điểm).

a)   Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hàm số bậc hai \(y = {x^2}\) có đồ thị là một parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d:y = 2\left( {m - 3} \right)x - m + 4\). Chứng minh rằng parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị thực của tham số \(m\), và nếu hai hoành độ này dương thì chúng thỏa mãn \(\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\).

b)   Cho hai phương trình bậc hai với ẩn \(x\) sau: \({x^2} + x + m = 0\) và \({x^2} + mx + 1 = 0\) (m là tham số). Định m để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

(4,0 điểm).                                                 

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\), nội tiếp đường tròn tâm \(\left( O \right)\). Trên đoạn thẳng \(AB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(B{\rm{D}} = BC\). Vẽ \(DH\)vuông góc \(AC\) tại \(H\), tia phân giác của góc \[\widehat {CAB}\] cắt \(DH\) tại \(K\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Tia \(CK\) cắt \(AB\) tại \(M\) và cắt đường tròn (O) tại \(F\). Tia \(AC\) và tia \(BE\) cắt nhau tại \(N\).

a)   Tính số đo của \[\widehat {ANB}\]

b)   Chứng minh \[\widehat {ADK} = \widehat {AFM}\]

c)   Chứng minh \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A{\rm{D}}\)

d)   Đường phân giác của \[\widehat {BCF}\]cắt \(BF\) tại \(U\)và đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(L\). Đường tròn tâm \(\left( I \right)\) tiếp xúc trong với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(S\) ( \(S\) thuộc cung nhỏ \(BC\)) và tiếp xúc với \(BF\) tại \(T\), đồng thời đường tròn \(\left( I \right)\) cắt \(CL\) tại \(R\), \(V\) (\(R\) nằm giữa \(C\) và \(V\)). Tia \(BV\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(P\). Vẽ dây \(PQ\) song song với \(CF\). Chứng minh \(B\), \(R\), \(Q\) thẳng hàng.

(2,0 điểm).

Cho \(n\) số nguyên dương phân biệt tùy ý, không vượt quá \(2025\).

a)   Với \(n = 1014\), chứng minh luôn tồn tại ba số \(a,b,c\) trong \(n\) số đó sao cho \(a = b + c\).

b)   Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) để luôn tồn tại ba số \(a,b,c\) trong \(n\) số đó sao cho \(a = b + c\).

(3,0 điểm).

a)   Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) cách nhau \(24\) km. Khi từ \(B\) về \(A\), nhờ xuôi chiều gió nên tốc độ lúc về nhanh hơn tốc độ lúc đi là \(4\) km/h. Vì thế, thời gian về ít hơn thời gian đi là \(30\) phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ \(A\) đến \(B\).

b)   Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{y^3} - 3y} \right) = 3{x^2} - 2\\4{x^3}y = 2{x^2} + 1.\end{array} \right.\)

(2,0 điểm).

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \(\left( {a,k,m} \right)\). Cho ba số nguyên dương \(a,k,m\) thỏa mãn đẳng thức \(k + {a^k} = m + 2{a^m}\) (1).

a)   Chứng minh \(k > m\).

b)   Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \(\left( {a,k,m} \right)\) thỏa mãn (1).

(2,0 điểm).

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương.

a)   Chứng minh \(\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \ge \sqrt {xy} + \sqrt {xz} \).

b)   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{x}{{x + \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\).