Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \tan \left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thành phố đó (tính bằng nghìn người/ năm), ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}\).

Từ năm 2015 đến năm 2025 nghĩa là \(t = 10\).

Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 10\) là:

\({f^\prime }(10) = \frac{{120}}{{{{(10 + 5)}^2}}} = \frac{8}{{15}} \approx 0,533{\rm{ }}\)(nghìn người/năm)

Điều kiện: \(x > 0,x \in \mathbb{N}\).

Doanh nhiệp thu được lợi nhuận là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = \left( {4000x - 33{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000} \right)\) \( =  - 2{x^3} - 30{x^2} + 3600x - 5000\)

Lợi nhuận biên là: \[P'\left( x \right) =  - 6{x^2} - 60x + 3600\].

Lợi nhuận tối đa đạt được tại một trong các điểm \({x_0}\) mà \[P'\left( {{x_0}} \right) = 0\].

\[P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 30\;(loai)\\x = 20\;\;(Thoa\;man)\end{array} \right.\]

Ta có bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\]:

Từ bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\] ta có:

Khi \(x < 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận tăng.

Khi \(x > 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận giảm.

Vậy mức sản lượng tối ưu là \(20\).