Dân số (tính theo nghìn người) của một thành phố được cho bởi công thức \(f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\), trong đó \(t\) (được tính bằng năm) là khoảng thời gian kể từ năm 2015. Tìm tốc độ tăng dân số trong năm 2025 của thành phố đó.

Điều kiện: \(x > 0,x \in \mathbb{N}\).

Doanh nhiệp thu được lợi nhuận là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = \left( {4000x - 33{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000} \right)\) \( =  - 2{x^3} - 30{x^2} + 3600x - 5000\)

Lợi nhuận biên là: \[P'\left( x \right) =  - 6{x^2} - 60x + 3600\].

Lợi nhuận tối đa đạt được tại một trong các điểm \({x_0}\) mà \[P'\left( {{x_0}} \right) = 0\].

\[P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 30\;(loai)\\x = 20\;\;(Thoa\;man)\end{array} \right.\]

Ta có bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\]:

Từ bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\] ta có:

Khi \(x < 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận tăng.

Khi \(x > 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận giảm.

Vậy mức sản lượng tối ưu là \(20\).

Ta có: \({y^\prime } = {\left( {x \cdot {2^{2x}}} \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime } = {x^\prime } \cdot {4^x} + {\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot x = {4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x\);

\({y^{\prime \prime }} = {\left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right)^\prime } = {\left( {{4^x}} \right)^\prime } + \ln 4 \cdot {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)                                     (\({\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)làm giống bước trên)

\( = {4^x}\ln 4 + \ln 4 \cdot \left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right) = 2 \cdot {4^x}\ln 4 + {\ln ^2}4 \cdot {4^x} \cdot x = {4^x} \cdot \ln 4(2 + x\ln 4).\)