Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau: \(y = x \cdot {2^{2x}}\)

Điều kiện: \(x > 0,x \in \mathbb{N}\).

Doanh nhiệp thu được lợi nhuận là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = \left( {4000x - 33{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000} \right)\) \( =  - 2{x^3} - 30{x^2} + 3600x - 5000\)

Lợi nhuận biên là: \[P'\left( x \right) =  - 6{x^2} - 60x + 3600\].

Lợi nhuận tối đa đạt được tại một trong các điểm \({x_0}\) mà \[P'\left( {{x_0}} \right) = 0\].

\[P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 30\;(loai)\\x = 20\;\;(Thoa\;man)\end{array} \right.\]

Ta có bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\]:

Từ bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\] ta có:

Khi \(x < 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận tăng.

Khi \(x > 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận giảm.

Vậy mức sản lượng tối ưu là \(20\).

Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thành phố đó (tính bằng nghìn người/ năm), ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}\).

Từ năm 2015 đến năm 2025 nghĩa là \(t = 10\).

Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 10\) là:

\({f^\prime }(10) = \frac{{120}}{{{{(10 + 5)}^2}}} = \frac{8}{{15}} \approx 0,533{\rm{ }}\)(nghìn người/năm)