Cho hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3}--2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x--5 + m\]. Tìm \(m\)để \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \({y^\prime } = {\left( {x \cdot {2^{2x}}} \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime } = {x^\prime } \cdot {4^x} + {\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot x = {4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x\);

\({y^{\prime \prime }} = {\left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right)^\prime } = {\left( {{4^x}} \right)^\prime } + \ln 4 \cdot {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)                                     (\({\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)làm giống bước trên)

\( = {4^x}\ln 4 + \ln 4 \cdot \left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right) = 2 \cdot {4^x}\ln 4 + {\ln ^2}4 \cdot {4^x} \cdot x = {4^x} \cdot \ln 4(2 + x\ln 4).\)

Đạo hàm của hàm số \(T\) biểu thị tốc độ thay đổi của nhiệt độ.

Ta có: \({T^\prime }(t) =  - 0,2t + 1,2\).

Vậy tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm \(t = 2\) là:

$T^{\text{'}}\left(2\right)=-0,2.2+1,2=0,8\left({}^{°}F/\text{ngày}\right).$